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第一百三十八章 蛋糕

小说:女神降临梦境作者:梦三万字数:2218更新时间 : 2019-08-14 00:05:00
  这道题目看起来挺新颖的,其实不算难。

  伊诚提笔作答:

  首先从题目知道:

  假设地主为集合C

  那么C的牌数为10,可以写作集合C{C1、C2……C10}

  A的集合为8,同样A{A1、A2……A8}

  ……

  然后C和A都有一个顺子:

  可以先设至少有C1+1=C2,C2+1=C3……

  同样A1+1=A2、A2+1=A3……

  B说他只有一个对子,并且B没有顺子。

  可以设定B1=B2,并且没有连续5个数之间的差值互相为1.

  又几个集合中的元素分别来自于1-13的两组数当中,它们之间是互斥的关系。

  即黑桃1如果在A中出现,必然不会在B和C中出现。

  ……

  伊诚一路写下来,发现这题是个体力活。

  这道题难的不是前面的部分,而在于后面的博弈。

  伊诚把前半部分写完。

  然后再继续做拆分整理:

  A可以拆分成两个集合:顺子集合和非顺子集合,

  B拆分为对子集合和单牌集合,

  C拆分为顺子集合和非顺集合,

  由C先出牌。

  那么就会存在集合C顺子比集合A顺子大或者小的两种情况……

  然后大致可以得到几种模型:

  ……

  伊诚一边做题一边摇着头。

  可以用昨天狼人杀的纳什均衡来做处理,也可以用最笨的穷举法来做。

  也就是说,这题注定拉不开分差了。

  数量级并不大,其他人通过穷举,2个小时之内肯定能搞定。

  哎。

  难受啊难受。

  伊诚在心底里叹息着。

  最后根据不同的牌型,整理出对应的概率模型,并且分别讨论一番。

  伊诚这题就算结束了。

  ok。

  21分到手。

  但是这题计算量大,浪费了他差不多一个小时的时间。

  ……

  伊诚继续前进,来到第三题。

  【在生日派对上,有一群小伙伴,作为寿星得为他们切蛋糕,蛋糕得保证切得每一块都是同样体积同样奶油,这样才不会有小朋友不开心。

  s是xy平面上的一个凸集。

  凸集:实数  R  (或复数  C  上)向量空间中,集合  S  称为凸集,如果  S  中任两点的连线内的点都在集合  S  内。

  对欧氏空间,直观上,凸集就是凸的。在一维空间中,凸集是单点或一条不间断的线(包括直线、射线、线段);二、三维空间中的凸集就是直观上凸的图形。】

  题目中特地对凸集做了解释。

  蛋糕是明显的凸集,可以用肉眼就能看出来的。

  伊诚对此没有任何疑问。

  他继续往下审题——

  【假设蛋糕的高度为h,h>0,定义在xyz三维空间中一个点集C={(x,y,z)|(x,y,z∈S,且0小于等于z小于等于h)}

  那么C为以S为基准的一个高度为h的蛋糕。

  蛋糕的高度是一致的,假定C除了底面之外的其他表面均匀地涂上了奶油。

  那么,讲一个平面s划分成k个集合,如果这k个集合的面积想通,且所占的原s的周边长度也相同,则称其为s的一个k完美划分。

  如果它的所有划分线都是从一个点出发的线段,则称该划分为一个星状完美划分。

  试证明:

  任何一个平面凸集均存在3星状完美划分。】

  卧槽,一个切蛋糕,你罗里吧嗦说这么多干嘛?

  伊诚对出题人的语文水平表示怀疑。

  他已经是lv2的文学学习水平,加上8期中国诗词大会擂主,他现在有资格吐槽。

  简单来说,比如一个圆,在其中划分一个米字,变成6等分,那么这个米字型划分就被称为6星完美划分。

  现在只需要证明的是不管任何形状,只要是凸集,就能3星完美划分。

  伊诚开始在草稿上进行论证。

  但是工作进行了半个小时,他突然发现——

  你妹的这题看起来简单,实际上却非常难。

  为什么呢?

  因为在证明这个题目之前,需要连续证明7个引理。

  这比刺杀雅典娜只差了5宫而已。

  伊诚心想,你们就算是7个葫芦娃,老子也要把你们打死。

  大娃是:

  证明:对于凸集S,存在一个边的3等长划分:S1、S2、S3,满足S1、S2、S3围成的面积均小于S面积的1/3。

  二娃:

  证明:对于凸集S,S1、S2、S3是S的边的一个等长划分,那么S1、S2、S3所分别围成的面积中至多只有一个不小于S面积的1/3

  ……

  七娃:如果将S的边划分成连续长度相同的三段,这三段分别包围的面积若都不超过S面积的1/3,那么命题得证——任何一个平面凸集均存在3星完美划分。

  伊诚只觉得浑身燥热,大汗淋漓。

  一路祭出各种法宝,终于把7个葫芦娃一一降服。

  最后爷爷就是来送的。

  他顺利收下了爷爷。

  当他抬起头来的时候,时间已经到了11点半。

  没有想到最后这道题这么耗时。

  不愧是中国奥数竞赛的题目。

  3道题目,就像是过了大半生一样。

  卷面上,伊诚密密麻麻写满了字,包括草稿纸都写得满满当当的。

  他做完题目,稍微用手按压着太阳穴,让大脑清醒一些。

  过了两分钟,开始检查答案。

  ……

  “嘤嘤嘤,孟老师,我对不起您。”

  考完试之后,孟老师来接众人。

  还没回酒店,几个选手就被考哭了。

  武青青一把鼻涕一把泪地说到,“我辜负了您的尊尊教诲,我不配去清北。”

  “我也是,我是个垃圾……”江文博哭丧着脸,“我连第一题都没什么把握,第二题穷举到一半时间就没了……”

  “你知道吗,你最大的问题就在于思想不正,只想着泡妞。”夏文雨用手指戳他的头。

  江文博立刻红了脸,不敢看李安若。

  “都怪李安若,前天带着我们玩狼人杀,把脑子玩坏了。”

  “哎,你这可就怪不得她了。”伊诚站出来回应道,“要知道今天的斗地主也要运用纳什均衡的。”

  “纳什……那是什么鬼?”

  众人一脸沮丧。

  老孟从众人的表情和刚才的对话中有了一定的判断。

  伊诚这个小伙子资质很高,这次的题目肯定难不倒他,看他刚才说得头头是道,应该都答出来了。

  另外颜姿琦刚才一语不发,面色有点凝重,恐怕有点麻烦。

  其他的几个,年纪最小的方铭宇一脸沉默,不知道思考什么,也许有一定把握。

  ……

  武青青哭天喊地的,跟江文博有得一拼,这两个人估计只能拿一些过程分,想拿到国一估计无望。

  更别说是进国家集训队出战明年的IMO了。

  “孟老师,您说得对,我只配上江城大学这种二流。”武青青擦掉脸上的眼泪,目露凶光,“我回去以后就改志愿。”

  呃……

  “不至于不至于。”老孟伸手拍了拍武青青的后脑,“回去再说。”

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